Disclaimer: Neste post, farei uma lista de alguns tópicos interessantes em “métodos matemáticos” para físicos e engenheiros que estão fazendo a transição do ciclo básico para o profissional. A ideia não é gerar uma lista exaustiva, mas apenas direcionar quais são as ferramentas matemáticas que costumam aparecer bastante em problemas de física e engenharia. Obviamente vão faltar diversos tópicos, até por que um curso de Métodos Matemáticos tem duração de um ano. Espero que achem proveitoso…
A seguir uma lista de livros bastante utilizados em cursos de Física Matemática. A maioria desses livros são estilo compêndios de resultados, teoremas e ferramentas. Alguns deles são criticados, e de fato como referências não chegam nem perto dos clássicos, mas são livros bem organizados, bons para quem quer ter um contato mais didático com certos assuntos, e aprender a resolver exercícios. Caso você não queira ler o post inteiro, pode simplesmente pegar um desses livros na biblioteca de sua Universidade e ler o sumário desses livros para ter uma ideia.
- Arfken et al. Mathematical Methods for Physicists, a Comprehensive Guide.
- Mary L. Boas. Mathematical Methods in the Physical Sciences.
- Mathews & Walker, Mathematical Methods of Physics
Abaixo, uma lista dos assuntos mais corriqueiros, com dicas de livros:
- Revisão de cálculo vetorial no espaço: É muito importante em física ter internalizado esse conteúdo, sabendo aplicar rotacional, divergente, gradiente, e as relações vetoriais que esses três operadores implicam. Além disso conhecer bem os teoremas integrais de Stokes, Green, Gauss. Saber trabalhar em coordenadas curvilíneas, saber escrever os operadores diferenciais nessas coordenadas, e aplicar os teoremas integrais da mesma maneira, utilizando o Jacobiano. Existem outros conceitos mais avançados e importantes do cálculo vetorial, mas estes citados já compreendem um bom volume de estudo. O cálculo vetorial foi criado por Gibbs, e aperfeiçoado por Wilson, Heaviside, entre outros. A descrição física através do cálculo vetorial é muito forte, e as principais aplicações seriam em dinâmica clássica, e eletromagnetismo. Sobre livros, acho o livro do Marsden bem didático, e atrativo para primeira abordagem, em um estilo Stewart (cálculo). Outro livro muito bom é o Div, Grad, Curl and All That, bem direto ao ponto, conciso e bem didático. Outro livro bem didático é o livro do Shanbrom, tem uma pegada Coleção Schaum. Um livro que não pode faltar é o Student’s Guide to Maxwell’s Equation (o autor do livro escreveu diversos livros nesse estilo, vale a pena conferir!). Um livro bem legal de ler é o Vector Analysis versus Vector Calculus.
- Tópicos em Mecânica e Eletromagnetismo: Esse tópico é um apanhado de coisas que julgo estarem no mesmo balaio. O ideal seria estudar cada um dos tópicos de forma individual, mas na visão de um físico e engenheiro acredito que a sinergia desses tópicos possam dar uma animada nos estudos. Os tópicos são: Equação de onda com separação de variáveis, e covariância dessa equação em uma transformação especial (grupo de Lorentz); Equação da corda vibrante e método de D’Alembert, Equação do Calor e separação de variáveis; Oscilador Harmônico; Forças Centrais e Leis de Kepler. Você deve ter percebido que esse conjunto de assuntos é bem orientado para equações diferenciais, e conceitos que orbitam isso, certo? Para esses assuntos recomendo ler livros de mecânica geral, pois livros de equações diferenciais (ordinárias e parciais) vão focar muito em teoremas de existência, solução única e outras coisas, sem necessariamente explorar as aplicações. Como referências, sugiro os livros do Marion, do Spivak, Goldstein, e Griffiths.
- Formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano: Sugiro os mesmos livros de mecânica para o tópico anterior, do Marion, do Spivak, e Goldstein, e os seguintes do Taylor, Landau, e Deriglazov. O livro do Goldstein também cobre um pouco de teoria de perturbação e colchetes de Poisson.
- Análise Real: Na minha opinião esse deveria ser uma disciplina obrigatória para todos os cursos de exatas, pois o custo benefício vale muito a pena! Usando o livro do Elon Lages Lima, em geral essa disciplina é ministrada no IMPA em cursos de verão, e dura um mês, o livro é muito bem escrito e organizado. Quem quiser pode dar uma conferida na aula gravada no IMPA, e ministrada pelo próprio Elon.
- Tópicos em análise funcional: Esse tópico considero muito importante, mas como fiz uma disciplina formal na matemática, pode ser que eu dê uma forçada, então se você achou muito pesado as dicas, pode ser que eu tenha passado do ponto. Mas recomendo saber os tópicos: espaços métricos; espaços normados; Espaços de Hilbert com produto interno; Teoria Espectral de Operadores Lineares de todos os tipos, limitados, não limitados, auto adjuntos, compactos, etc. Sugerir uma bibliografia para esse assunto é complicado, pois geralmente são livros voltados para matemáticos, ou os livros voltados para físicos são muito avançados, ou sempre inserido no contexto de mecânica quântica. Algumas referências são do Kreyszig, do Shima.
- Álgebra Linear (Segundo Curso): Um segundo curso de álgebra linear costuma variar muito, dependendo do instituto, mas existe um núcleo básico que costuma ser coberto em qualquer curso tradicional: Problemas de auto vetores e auto valores e diagonalização; teorema espectral; operadores lineares; formas bilineares; formas de Jordan. Eu acrescentaria ortogonalização em espaços de Hilbert, operadores não limitados, e uma breve introdução de álgebra multilinear. Sobre as referências, não tem como errar utilizando os livros do Hoffman & Kunze, do Halmos, ou do Greub. Um livro que recomendo ler mais como curiosidade é o do Jordan.
Algumas aulas vídeo básicas de Física Matemática.
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